A teoria de primeira ordem de uma estrutura finita tem uma classificação limitada de quantificadores?

Let $\mathfrak{A} $ be any finite structure. Does its first order theory $ \mathfrak{T} := \mathfrak{TH}(\mathfrak{A}) $ have bounded quantifier rank, in the sense that there is a $ q\in\mathbb{N} $ such that for all $ \varphi\in\mathfrak{T} $ with $ qr(\varphi) > q $ there is a $ \varphi'\in\mathfrak{T} $ with $ qr(\varphi')\leq q $ and $ \varphi'\equiv\varphi $ ?

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@Andrej, teoria dos modelos finitos e complexidade descritiva também são considerados parte do TCS.
adicionado o autor Swinders, fonte
Isso não é uma questão para Mathoverflow em vez de teoria CS?
adicionado o autor Tim Heuer, fonte
Excelente, é como Bob Harper disse uma vez: a matemática é um caso especial da ciência da computação.
adicionado o autor Tim Heuer, fonte
A ciência da computação também é um caso especial de matemática, e ambos são também casos especiais de lógica e vice-versa.
adicionado o autor fhyve, fonte

2 Respostas

A teoria de qualquer estrutura finita é modelo completo. De fato, é fácil ver que qualquer fórmula é equivalente a uma fórmula existencial com um quantificador por cada elemento da estrutura, após o qual todos os quantificadores da fórmula original podem ser simulados por conjunções e disjunções. Em particular, o número de quantificadores (daí a classificação do quantificador) é limitado pelo tamanho da estrutura.

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Nenhum quantificador adicional é necessário. Lembre-se de que não estamos tentando axiomatizar a teoria da estrutura, mas encontrar uma fórmula equivalente a um determinado módulo da teoria. E a presença da igualdade é um padrão universal para a lógica clássica de primeira ordem. Sua ausência precisaria ser declarada.
adicionado o autor DitherSky, fonte
Na verdade, um quantificador universal adicional é necessário, o que permite expressar que não há elementos adicionais. Em todas as respostas há uma suposição que deve ser explicitada: a presença de fequalidade, ou seja, x = y é uma fórmula atômica permitida.
adicionado o autor Thomas S, fonte
Ah Você está certo. "Teoria dos Módulos". No que diz respeito à igualdade: como estamos tentando explicar as coisas fáceis para as pessoas de fora da lógica, não faz mal deixar o quadro explícito. Mais uma observação: substituir quantificadores por conjunções e disjunções é perfeitamente bom. No entanto, existem alternativas: como uma fórmula com, digamos, variáveis ​​livres define uma relação m de A, a nova fórmula pode, depois de adivinhar todos os elementos e verificar qual é qual (modulo automorfismos), também explicitamente "enumerar" todos tuplas, para as quais a fórmula antiga produz "verdadeira".
adicionado o autor Thomas S, fonte

Para fazer o que Emil disse um pouco mais concreto: considere a fórmula que expressa a existência de k objetos distintos. Isso mostra que precisamos de um número ilimitado de quantificadores.

Agora você tem uma fórmula com q quantificadores e seu modelo tem k objetos nela, você pode expressar a fórmula declarando que k objetos distintos existem e a relação entre eles pode ser expressa como um CNF.

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